Números Reales

El conjunto de los números reales (R)

1. Número Decimal
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Los números racionales se representan de dos maneras: como a/b con b distinto de "0" o como número decimal.

Un número decimal es la representación de un racional que se obtiene al dividir el númerador por el denominador y está conformado por una parte entera y por una parte decimal, separadas una de la otra por una coma. Ejemplos:

· 6/25 = 0,24 (decimal finito o limitado)
· 35/8 = 4,375 (decimal finito o limitado)
· 5/3 = 1,666.... (decimal infinito periódico puro)
· 7/30 = 0,2333.... (decimal infinito periódico mixto)

2. Fracción Generatriz de un número decimal
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Sabemos que todo decimal, ya sea limitado o ilimitado periódico, pocede de una fracción. La fracción irreductible de la que procede dicho decimal se llama fracción generatriz del número decimal o simplemente generatriz.

En el estudio de la generatriz de una expresión decimal, nos encontramos con tres casos:

1er Caso: Cuando el número decimal es finito o limitado:
Se convierte a fracción decimal donde el numerador es el numero entero que resulta al quitar al número decimal la coma, y eldenominador es la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal. Luego se simplifica hasta obtener una fracción irreductible:

· 0,4 = 4/10 = 2/5
· 1,3 = 13/10
· 0,45 = 45/100 = 9/20
· 2,832 = 2832/1000 = 354/125

2do Caso: Cuando el numero decimal es finito periódico puro:
Para hallar la fracción generatriz de una expresión decimal periódica pura se pone por numerador el periodo, y por denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo. La fracción resultante se simplifica hasta obtener la equivalente irreductible. Si el decimal tuviese parte entera, se puede utilizar la notación de número mixto:

· 0,2222..... = 2/9
· 3,666...... = 3 6/9 = 3 2/3 = 11/3
· 1,252525....= 1 25/99 = 124/99

3er Caso: Cuando el numero decimal es infinito periódico mixto:
Para hallar la fracción generatriz de una expresion decimal periodica mixta se pone por numerador la parte no periódica seguida del promer periodo, menos la parte no periódica; y por denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo, seguido de tantos ceros como crifras tenga la parte no periódica, simplificando después hasta la equivalente irreductible.

· 0,383333.... = 383-38/900 = 345/900 = 23/60
· 4,23615615615.....= 4 23615-23/99900 = 4 1966/8325

3. Expresiones decimales no periódicas y numeros irracionales:
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¿Existen números decimales ilimitados que no son racionales? Veamos por ejemplo:

Al extraer la raiz cuadrada al número 2 se obtiene:

• El resultado es un DECIMAL ILIMITADO, pues más que se prolongue su cálculo, nunca termina.
  
• Este decimal ilimitado NO ES PERIÓDICO; pues, por mucho que prolonguemos su cálculo, nunca habrá un período de cifras que se vayan repitiendo.


• Este decimal NO SE PUEDE EXPRESAR MEDIANTE LA DIVISION DE DOS NUMEROS ENTEROS (como consecuencia de ser ilimitado no periódico).

Luego, el resultado de √2, decimal ilimitado, no periódico, no es un número racional.

A estos números que no podemos expresar mediante la forma a/b con aeZ y beZ - {0} se les llama IRRACIONALES.

Luego, podemos definir los números irracionales como números de infinitas cifras decimales, no periódicas, y que en consecuencia no pueden representarse mediante la razón de dos números.

4. El conjunto de los números irracionales (I) ______________________________________

Así como, al no ser posibles todas las restas en el conjunto N, hubo necesidad de construir el conjunto Q, de la misma manera hay necesidad de construir un nuevo conjunto distinto de Q, para expresar las raíces cuadradas de números que no son cuadrados perfectos. Dicho conjunto es el conjunto es el conjunto de los números irracionales (I).

El conjunto I de los números irracionales tiene como elementos a todos los números decimales ilimitados no periódicos.

Por ejemplo, pertenecen a este conjunto:

√2 cuya expresión decimal no periódica es 1,41421356…………
√3 cuya expresión decimal no periódica es 1,732005080............

5. El conjunto de los números reales (R)
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El conjunto Q de los números racionales y el conjunto I de los números irracionales constituyen reunidos, el conjunto de los números reales que se representará por la letra: R. Todos los conjuntos númericos estudiados hasta el momento (N,Z,Q,I) están incluidos en R, como se verá en la siguiente clasificación:

6. Orden en R. Relaciones menos y mayor. Propiedades:
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